यदि $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$, $x \in \mathbb{R}$ के लिए, तो $f^{\prime}(0)$ का मान क्या होगा?

$(a)$ सिद्ध कीजिए कि $10$ के साथ सापेक्ष अभाज्य प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,एक ऐसी प्राकृतिक संख्या $m$ मौजूद है जिसके सभी अंक $1$ हैं और $n$,$m$ को विभाजित करता है।
$(b)$ इसके आधार पर या अन्यथा सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या को कुछ प्राकृतिक संख्याओं $a, b, c$ के लिए $\frac{a}{10^b(10^c-1)}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

एक गेंद को पृथ्वी की सतह से $V_0$ के प्रारंभिक वेग के साथ ऊपर की ओर फेंका जाता है। गेंद की गति $m \gamma v^2$ के बराबर एक ड्रैग बल (जहाँ $m$ गेंद का द्रव्यमान है,$v$ इसका तात्कालिक वेग है और $\gamma$ एक स्थिरांक है) से प्रभावित होती है। गेंद को अपने उच्चतम बिंदु (zenith) तक पहुँचने में लगा समय है:

$(4 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6})$ से गुजरने वाले दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(-4, 0)$ और $(4, 0)$ हैं। तो इसकी उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

प्लास्टर ऑफ पेरिस के जमने (hardening) की अवस्था में,बनने वाला यौगिक है:

निम्नलिखित में से कौन सा जीवन का लक्षण नहीं है?