यदि log (1+x) - frac{2x}{2+x} एक वर्धमान फलन | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.सबसे पहले, हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - (2x)(1)}{(2+x)^2}$$f

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$0 < x < \infty$

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(A) माना $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.सबसे पहले, हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - (2x)(1)}{(2+x)^2}$$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4+2x-2x}{(2+x)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$फलन के वर्धमान होने के लिए, हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है:$\frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} > 0$$\frac{4+x^2+4x - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2} > 0$$\frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2} > 0$चूंकि $x^2 \ge 0$ और $(2+x)^2 > 0$ सभी $x 
eq -2$ के लिए, यह व्यंजक तब धनात्मक होता है जब $1+x > 0$ और $x 
eq 0$ हो।अतः, $x > -1$ और $x 
eq 0$।

यदि $\log (1+x) - \frac{2x}{2+x}$ एक वर्धमान फलन है, तो

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