यदि int(x+2) sqrt{x^2-x+2} , dx = frac{1}{3} | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int(x+2) \sqrt{x^2-x+2} \, dx$. हम $x+2 = A \frac{d}{dx}(x^2-x+2) + B = A(2x-1) + B = 2Ax + (B-A)$ लिखते हैं। गुणांकों की तुलना करने पर

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$2$

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(B) माना $I = \int(x+2) \sqrt{x^2-x+2} \, dx$. हम $x+2 = A \frac{d}{dx}(x^2-x+2) + B = A(2x-1) + B = 2Ax + (B-A)$ लिखते हैं। गुणांकों की तुलना करने पर, $2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}$ और $B-A = 2 \implies B = \frac{5}{2}$. अतः, $I = \int \left[ \frac{1}{2}(2x-1) + \frac{5}{2} \right] \sqrt{x^2-x+2} \, dx = \frac{1}{2} \int (2x-1) \sqrt{x^2-x+2} \, dx + \frac{5}{2} \int \sqrt{x^2-x+2} \, dx$. प्रथम भाग के लिए, $u = x^2-x+2$ लेने पर, $du = (2x-1)dx$, अतः $\frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{3} (x^2-x+2)^{3/2}$. दूसरे भाग के लिए, $\int \sqrt{(x-1/2)^2 + 7/4} \, dx = \frac{x-1/2}{2} \sqrt{x^2-x+2} + \frac{7/8} \ln |(x-1/2) + \sqrt{x^2-x+2}|$. इस प्रकार, $I = \frac{1}{3} (x^2-x+2)^{3/2} + \frac{5}{8} (2x-1) \sqrt{x^2-x+2} + \frac{35}{16} \ln |x-1/2 + \sqrt{x^2-x+2}| + c$. दिए गए रूप से तुलना करने पर, $f(x) = (x^2-x+2)^{3/2}$, $g(x) = (2x-1) \sqrt{x^2-x+2}$, $h(x) = \ln |x-1/2 + \sqrt{x^2-x+2}|$. $f(-1) = 8$, $g(-1) = -6$, $h(1/2) = 0$ (क्योंकि $\ln(1) = 0$). अतः $f(-1)+g(-1)+h(1/2) = 8-6+0 = 2$.

यदि $\int(x+2) \sqrt{x^2-x+2} \, dx = \frac{1}{3} f(x) + \frac{5}{8} g(x) + \frac{35}{16} h(x) + c$ है, तो $f(-1) + g(-1) + h\left(\frac{1}{2}\right) = $

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