यदि x neq (2n+1) frac{pi}{2} है, तो int frac{ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{\cos^3 x}{(1+\sin x)^4} dx$ है।
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर, हमें $\cos^3 x = \cos x(1 - \sin^2 x)$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sin x}{(1+\sin x)^2} + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{\cos^3 x}{(1+\sin x)^4} dx$ है।
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर, हमें $\cos^3 x = \cos x(1 - \sin^2 x)$ प्राप्त होता है।
अतः, $I = \int \frac{\cos x(1 - \sin^2 x)}{(1+\sin x)^4} dx$ है।
माना $u = \sin x$, तो $du = \cos x dx$ है।
$I = \int \frac{1 - u^2}{(1+u)^4} du = \int \frac{(1-u)(1+u)}{(1+u)^4} du = \int \frac{1-u}{(1+u)^3} du$ है।
माना $t = 1+u$, तो $u = t-1$ और $du = dt$ है।
$I = \int \frac{1-(t-1)}{t^3} dt = \int \frac{2-t}{t^3} dt = \int (2t^{-3} - t^{-2}) dt$ है।
$I = 2 \frac{t^{-2}}{-2} - \frac{t^{-1}}{-1} + c = -\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t} + c$ है।
$t = 1+\sin x$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $I = -\frac{1}{(1+\sin x)^2} + \frac{1}{1+\sin x} + c = \frac{-1 + (1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} + c = \frac{\sin x}{(1+\sin x)^2} + c$ प्राप्त होता है।

यदि $x \neq (2n+1) \frac{\pi}{2}$ है, तो $\int \frac{\cos^3 x}{(1+\sin x)^4} dx =$

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