यदि [bullet] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता ह | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = |\sin x| + |\cos x|$ है।हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $|\sin x| \geq \sin^2 x$ और $|\cos x| \geq \cos^2 x$ होता है।इन

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$2\pi$

Vedclass · Answer

(D) माना $f(x) = |\sin x| + |\cos x|$ है।हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $|\sin x| \geq \sin^2 x$ और $|\cos x| \geq \cos^2 x$ होता है।इनको जोड़ने पर, हमें $|\sin x| + |\cos x| \geq \sin^2 x + \cos^2 x = 1$ प्राप्त होता है।साथ ही, $|\sin x| + |\cos x|$ का अधिकतम मान $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है, जहाँ $|\sin \frac{\pi}{4}| + |\cos \frac{\pi}{4}| = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414$ होता है।चूँकि $1 \leq |\sin x| + |\cos x| \leq \sqrt{2}$ है, इसलिए सभी $x \in [0, 2\pi]$ के लिए महत्तम पूर्णांक फलन $[|\sin x| + |\cos x|]$ का मान हमेशा $1$ होगा।अतः, $\int_0^{2 \pi} [|\sin x| + |\cos x|] \, dx = \int_0^{2 \pi} 1 \, dx = [x]_0^{2 \pi} = 2\pi - 0 = 2\pi$।

यदि $[\bullet]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है, तो $\int_0^{2 \pi} [|\sin x| + |\cos x|] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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