જો $\vec{a}+l \vec{b}+l^2 \vec{c}=0$ અને $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}=3(\vec{b} \times \vec{c})$ હોય, તો આવા $l$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

સમતલીય બિંદુઓ $A, B, C,$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},$ અને $\vec{d}$ છે,જેથી $(\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ અને $(\vec{b} - \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$ થાય. તો ત્રિકોણ $ABC$ માટે બિંદુ $D$ એ શું છે?

ધારો કે $A$ અને $B$ બે બિંદુઓ છે. $A$ નો સ્થાનસદિશ $6b - 2a$ છે. બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. જો $a - b$ એ $P$ નો સ્થાનસદિશ હોય,તો $B$ નો સ્થાનસદિશ શું થાય?

જો $\vec{a} = \lambda x \hat{i} + y \hat{j} + 4z \hat{k}$,$\vec{b} = y \hat{i} + x \hat{j} + 3y \hat{k}$,અને $\vec{c} = -z \hat{i} - 2z \hat{j} - (\lambda + 1) \hat{k}$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ હોય,જ્યાં $x, y, z$ બધા શૂન્ય નથી,અને $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{c}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{d}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ હોય, તો નીચેની List-$I$ ને List-$II$ સાથે જોડો:

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$	$(A)$ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}$
(ii) $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$	$(B)$ $3$
(iii) $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$	$(C)$ $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$
(iv) $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$	$(D)$ $2\hat{i}-2\hat{k}$
	$(E)$ $2\hat{j}+2\hat{k}$
	$(F)$ $4$

જો $\hat{a}, \hat{b}$ અને $\hat{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય અને જો $\hat{d}$ એવું હોય કે $\hat{d} = \frac{1}{x}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c})$ અને $\hat{d} = \frac{1}{y}(\hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ જ્યાં $x$ અને $y$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો $\frac{1}{xy}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ ની કિંમત શોધો.