यदि $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$, $b=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $c=5 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k}$ है, तो $a+b$, $b+c$, $c+a$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए।

यदि $x$,$y$ और $z$ के समानांतर है जहाँ $x = 2i + j + \alpha k$,$y = \alpha i + k$ और $z = 5i - j$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

चतुष्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए,जिसके शीर्ष सदिशों $-i + j + k$,$i - j + k$ और $i + j - k$ द्वारा दिए गए हैं,जहाँ चौथा शीर्ष मूल बिंदु है।

यदि $a, b, c$ असमतलीय सदिश हैं और $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है,तो सदिश $a + 2b + 3c, \lambda b + 4c$ और $(2\lambda - 1)c$ किन मानों के लिए असमतलीय होंगे?

$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ असमतलीय सदिश हैं,जहाँ $\overrightarrow{P} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{Q} = 4\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}$ और $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{a} + \alpha\overrightarrow{b} + \beta\overrightarrow{c}$ रैखिक रूप से आश्रित सदिश हैं। तो $\alpha$ के संभावित मानों की संख्या क्या है?

$\lambda$ के उन भिन्न वास्तविक मानों की संख्या,जिनके लिए सदिश $-\lambda^2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}-\lambda^2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}-\lambda^2 \hat{k}$ समतलीय हैं,है