જો $f(x) = \cos (\log x)$ હોય,તો $f(x)f(4) - \frac{1}{2}\left[ f\left( \frac{x}{4} \right) + f(4x) \right]$ ની કિંમત શોધો.

જો $a$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ $[\alpha, \beta] \cup [\gamma, \delta]$ હોય,જેના માટે વિધેય $f(x) = \begin{cases} 3x + |a^2 - 4|; & a \leqslant x < 1 \\ 5 - x^2; & x \geqslant 1 \end{cases}$ ની મહત્તમ કિંમત $x = 1$ આગળ મળે,તો $(\alpha + \beta + \gamma + \delta)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A = \{1, 3, 4, 6, 9\}$ અને $B = \{2, 4, 5, 8, 10\}$ છે. ધારો કે $R$ એ $A \times B$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ છે,જેથી $R = \{((a_1, b_1), (a_2, b_2)) : a_1 \leq b_2 \text{ અને } b_1 \leq a_2\}$. તો ગણ $R$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $P(x)$ એ વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતી બહુપદી છે જેથી તમામ $x \in [0, \pi/2)$ માટે $P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x)$ થાય. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I.$ $P(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે.
$II.$ $P(x)$ ને $(2x - 1)^2$ માં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$III.$ $P(x)$ એ યુગ્મ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
તો,

જો $f: R \rightarrow R$ અને $g: R \rightarrow R$ એ દરેક $x \in R$ માટે $f(x)=|x|$ અને $g(x)=[x]$ દ્વારા આપવામાં આવેલ હોય, તો $\{x \in R: g(f(x)) \leq f(g(x))\}$ બરાબર શું થાય?

List-$I$ ની વસ્તુઓને List-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો:

List-$I$	List-$II$
$A$. $\sec ^{-1}\left[1+\cos ^2 x\right]$ નો વિસ્તાર, જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે	$I$. અયુગ્મ વિધેય
$B$. $f(x)$ નો પ્રદેશ જ્યાં $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}$	$II$. $\left\{0, \frac{1}{2}\right\}$
$C$. $f(x+y)=f(x)+f(y) ; f(1)=5$	$III$. $\left\{\sec ^{-1} 5, \sec ^{-1} 4\right\}$
$D$. $\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} x+\sin ^{-1}(1-x)=0 \Rightarrow x \in$	$IV$. $R$
	$V$. $\left\{\sec ^{-1} 1, \sec ^{-1} 2\right\}$