यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-a(x-1)+b=0$ के मूल हैं, तो $\frac{1}{\alpha^2-a \alpha}+\frac{1}{\beta^2-a \beta}+\frac{2}{a+b}$ का मान क्या होगा?

समीकरण $\left(x^4+1\right)=\frac{1}{a}(x+1)^4$ एक व्युत्क्रम समीकरण (reciprocal equation) है:

यदि $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1$ समीकरण $a x^4+b x^3+c x^2+d x+e=0$ के मूल हैं और $\alpha_2, \beta_2, \gamma_2, \delta_2$ समीकरण $e x^4+d x^3+c x^2+b x+a=0$ के मूल हैं,जहाँ $0 < \alpha_1 < \beta_1 < \gamma_1 < \delta_1$,$0 < \alpha_2 < \beta_2 < \gamma_2 < \delta_2$,$\alpha_1-\delta_2=2$,$\beta_1-\gamma_2=2$,$\gamma_1-\beta_2=4$,और $\delta_1-\alpha_2=4$ है,तो $a+b+c+d+e=$

मान लीजिए कि $m$ और $n$ द्विघात समीकरणों $x^2-12x+[x]+31=0$ और $x^2-5|x+2|-4=0$ के वास्तविक मूलों की संख्या हैं,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है। तो $m^2+mn+n^2$ का मान $..............$ है।

यदि $f(x)=2x^2+\alpha x+8$ का न्यूनतम मान और $g(x)=-3x^2-4x+\alpha^2$ का अधिकतम मान समान है, तो $\alpha^2=$

$2^x + 3^y = 5^{xy}$ को संतुष्ट करने वाले धनात्मक पूर्णांकों के क्रमित युग्मों $(x, y)$ की संख्या क्या है?