यदि a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, तो समीकरण | vedclass

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Question

(C) दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर: $(x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (a+c)x + ac) + (x^2 - (a+b)x + ab) = 0$ $3x^2 - 2(a+b+c)x + (ab+bc+ca) = 0$ इस द्व

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वास्तविक

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(C) दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर: $(x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (a+c)x + ac) + (x^2 - (a+b)x + ab) = 0$ $3x^2 - 2(a+b+c)x + (ab+bc+ca) = 0$ इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D$ इस प्रकार है: $D = [-2(a+b+c)]^2 - 4(3)(ab+bc+ca)$ $D = 4(a+b+c)^2 - 12(ab+bc+ca)$ $D = 4(a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ca - 3ab-3bc-3ca)$ $D = 4(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)$ $D = 2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ चूंकि $a, b, c$ वास्तविक हैं, इसलिए $(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2 \geq 0$। अतः, $D \geq 0$। चूंकि विविक्तकर हमेशा गैर-ऋणात्मक है, इसलिए मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

यदि $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो समीकरण $(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=0$ के दोनों मूल हमेशा कैसे होते हैं?

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