જો ${}^nC_4, {}^nC_5$ અને ${}^nC_6$ એ $A.P.$ માં હોય, તો $n$ ની કિંમત શોધો.

$6$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓમાંથી $5$ સભ્યોની સમિતિ કેટલી રીતે બનાવી શકાય જો સમિતિમાં ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય?

એક વિદ્યાર્થીએ પરીક્ષામાં $13$ પ્રશ્નોમાંથી $10$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે,જેમાં તેણે પ્રથમ $5$ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. તો તે કેટલી રીતે પસંદગી કરી શકે?

$n$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી પાંચ વિદ્યાર્થીઓની પસંદગી એવી રીતે કરવામાં આવે છે કે જેથી $2$ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ થાય તેવા પ્રકારોની સંખ્યા અને $2$ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ ન થાય તેવા પ્રકારોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $2:3$ છે. તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

બે ખેલાડીઓ $A$ અને $B$ બેડમિન્ટનની શ્રેણી રમે છે. જે ખેલાડી પહેલા $5$ ગેમ જીતે છે, તે શ્રેણી જીતે છે. કોઈ પણ ગેમ ડ્રો થતી નથી તેમ ધારીએ તો, ખેલાડી $A$ શ્રેણી જીતે તેવા કુલ પ્રકારોની સંખ્યા . . . . . . છે.

$8$ સમાન દડાઓને $3$ ભિન્ન ખોખામાં એવી રીતે કેટલી રીતે વહેંચી શકાય કે જેથી એક પણ ખોખું ખાલી ન રહે?