यदि (1+x+x^2+x^3)^5 = sum_{k=0}^{15} a_k x^k | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $(1+x+x^2+x^3)^5 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_{15} x^{15}$.हम जानते हैं कि $(1+x+x^2+x^3) = (1+x)(1+x^2)$.अतः, $f(x) = (1+x)^5

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(C) दिया गया है $(1+x+x^2+x^3)^5 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_{15} x^{15}$.हम जानते हैं कि $(1+x+x^2+x^3) = (1+x)(1+x^2)$.अतः, $f(x) = (1+x)^5 (1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$.योग $\sum_{k=0}^7 (-1)^k a_{2k} = a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + a_8 - a_{10} + a_{12} - a_{14}$ प्राप्त करने के लिए, $x = i$ रखने पर:$f(i) = (1+i+i^2+i^3)^5 = (1+i-1-i)^5 = 0^5 = 0$.$f(i) = a_0 + a_1 i - a_2 - a_3 i + a_4 + a_5 i - a_6 - a_7 i + a_8 + \dots$.वास्तविक भाग को $0$ के बराबर रखने पर:$a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + a_8 - a_{10} + a_{12} - a_{14} = 0$.

यदि $(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ है, तो $\sum_{k=0}^7 (-1)^k a_{2k}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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