यदि I = int_{0}^{2} e^{x^{4}}(x - alpha) dx = | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int_{0}^{2} e^{x^{4}}(x - \alpha) dx = 0$ है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\int_{0}^{2} x e^{x^{4}} dx = \alpha \int_

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$(0, 2)$

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(A) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int_{0}^{2} e^{x^{4}}(x - \alpha) dx = 0$ है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\int_{0}^{2} x e^{x^{4}} dx = \alpha \int_{0}^{2} e^{x^{4}} dx$। अतः, $\alpha = \frac{\int_{0}^{2} x e^{x^{4}} dx}{\int_{0}^{2} e^{x^{4}} dx}$। मान लीजिए $f(x) = e^{x^{4}}$ है। चूंकि $f(x) > 0$ सभी $x \in [0, 2]$ के लिए है, $\alpha$ के लिए यह व्यंजक अंतराल $[0, 2]$ में $x$ के मानों का भारित औसत (weighted average) दर्शाता है। चूंकि $x$ का मान $0$ से $2$ के बीच है, इसलिए भारित औसत $\alpha$ को भी अंतराल $[0, 2]$ में $x$ के न्यूनतम और अधिकतम मानों के बीच ही स्थित होना चाहिए। अतः, $0 < \alpha < 2$, जिसका अर्थ है कि $\alpha \in (0, 2)$।

यदि $I = \int_{0}^{2} e^{x^{4}}(x - \alpha) dx = 0$ है, तो $\alpha$ किस अंतराल में स्थित है?

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