यदि x sin left(frac{y}{x}right) dy = left[y s | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) \frac{dy}{dx} = y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x$. माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v

Vedclass · Accepted Answer

$\log x$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) \frac{dy}{dx} = y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x$. माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x \sin(v) (v + x \frac{dv}{dx}) = vx \sin(v) - x$. $x$ से भाग देने पर: $\sin(v) (v + x \frac{dv}{dx}) = v \sin(v) - 1$. $v \sin(v) + x \sin(v) \frac{dv}{dx} = v \sin(v) - 1$. $x \sin(v) \frac{dv}{dx} = -1$. चरों को पृथक करने पर: $\sin(v) dv = -\frac{1}{x} dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$. $-\cos(v) = -\log|x| + C$. चूंकि $y(1) = \frac{\pi}{2}$, $x = 1$ पर $v = \frac{y}{x} = \frac{\pi/2}{1} = \frac{\pi}{2}$. $-\cos(\frac{\pi}{2}) = -\log(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$. अतः, $-\cos(v) = -\log x$, जिसका अर्थ है कि $\cos(\frac{y}{x}) = \log x$.

यदि $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$, $x > 0$ और $y(1) = \frac{\pi}{2}$ है, तो $\cos \left(\frac{y}{x}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

Similar Questions

अवकल समीकरण $y^{\prime} = \frac{y}{x + \sqrt{xy}}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है):

दर्शाइए कि अवकल समीकरण $y^{\prime} = \frac{x+y}{x}$ एक समघातीय (homogeneous) समीकरण है और इसका व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ के लिए, यह दिया गया है कि $y(1) = 1$ और $y(x_0) = e$ है, तो $x_0$ का मान ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module