यदि x frac{dy}{dx} + y = x frac{f(xy)}{f'(xy) | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y$.इस मान को समीकरण में

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$Ce^{x^2/2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y$.इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d(xy)}{dx} = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = x dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = \int x dx$.परिणाम प्राप्त होता है: $\ln |f(xy)| = \frac{x^2}{2} + k$, जहाँ $k$ समाकलन स्थिरांक है.दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|f(xy)| = e^{\frac{x^2}{2} + k} = e^k \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$.मान लीजिए $C = e^k$, अतः: $|f(xy)| = Ce^{\frac{x^2}{2}}$.

यदि $x \frac{dy}{dx} + y = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$ है, तो $|f(xy)|$ का मान क्या होगा?

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अवकल समीकरण $\left(x+y \frac{dy}{dx}\right)=1$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए कि $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ एक सतत फलन है जो $f(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ को संतुष्ट करता है। तो $f(\ln 5)$ का मान है

$\frac{dy}{dx} = \cos^2(x-y-1)$ का व्यापक हल $x=$ द्वारा दिया गया है।

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