यदि $5$ अलग-अलग गेंदों को $5$ खानों में यादृच्छिक रूप से रखा जाता है, तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि ठीक एक खाना खाली रहे ($/ 125$ में)?

तीन पासों को फेंकने पर,कम से कम एक पासे पर $1$ आने की प्रायिकता क्या है?

प्रथम $10$ अभाज्य संख्याओं के समुच्चय से सभी प्रविष्टियों वाले यादृच्छिक रूप से चुने गए $2 \times 2$ आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय (singular) होने की प्रायिकता क्या है?

फुटबॉल टीमें $T_1$ और $T_2$ एक-दूसरे के खिलाफ दो मैच खेलती हैं। दोनों मैचों के परिणाम स्वतंत्र हैं। $T_1$ के $T_2$ के खिलाफ जीतने,ड्रा करने और हारने की प्रायिकताएं क्रमशः $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{6}$ और $\frac{1}{3}$ हैं। प्रत्येक टीम को जीत के लिए $3$ अंक,ड्रा के लिए $1$ अंक और हार के लिए $0$ अंक मिलते हैं। मान लीजिए $X$ और $Y$ दो मैचों के बाद क्रमशः $T_1$ और $T_2$ टीमों द्वारा प्राप्त कुल अंक दर्शाते हैं।
$(1)$ $P(X>Y)$ क्या है?
$(A)$ $\frac{1}{4}$ $(B)$ $\frac{5}{12}$ $(C)$ $\frac{1}{2}$ $(D)$ $\frac{7}{12}$
$(2)$ $P(X=Y)$ क्या है?
$(A)$ $\frac{11}{36}$ $(B)$ $\frac{1}{3}$ $(C)$ $\frac{13}{36}$ $(D)$ $\frac{1}{2}$

तीन छह-फलकीय निष्पक्ष पासे एक साथ फेंके जाते हैं। पासे पर आने वाली संख्याओं का योग $k$ $(3 \le k \le 8)$ होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए कि तीन स्वतंत्र घटनाएँ $E_{1}, E_{2}$ और $E_{3}$ हैं। केवल $E_{1}$ के घटित होने की प्रायिकता $\alpha$ है,केवल $E_{2}$ के घटित होने की प्रायिकता $\beta$ है और केवल $E_{3}$ के घटित होने की प्रायिकता $\gamma$ है। मान लीजिए $p$ उस प्रायिकता को दर्शाता है कि कोई भी घटना घटित नहीं होती है,जो समीकरणों $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ और $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ को संतुष्ट करती है। सभी दी गई प्रायिकताएँ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित मानी जाती हैं। तो,$\frac{\text{Probability of occurrence of } E_{1}}{\text{Probability of occurrence of } E_{3}}$ का मान .......... है।