यदि f(x) संबंध f(x) = e^{x} + int_{0}^{1} (y | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} yf(y) dy + xe^{x} \int_{0}^{1} f(y) dy$. मान लीजिए $A = \int_{0}^{1} yf(y) dy$ और $B = \int_{0}^{1} f(y)

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$2$

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(B) दिया गया है $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} yf(y) dy + xe^{x} \int_{0}^{1} f(y) dy$. मान लीजिए $A = \int_{0}^{1} yf(y) dy$ और $B = \int_{0}^{1} f(y) dy$. तब $f(x) = e^{x} + A + Bxe^{x}$. अब, $B = \int_{0}^{1} (e^{y} + A + Bye^{y}) dy = [e^{y} + Ay + B(ye^{y} - e^{y})]_{0}^{1} = (e + A + 0) - (1 + 0 - B) = e + A - 1 + B$. इससे $A = 1 - e$ प्राप्त होता है। आगे, $A = \int_{0}^{1} y(e^{y} + A + Bye^{y}) dy = \int_{0}^{1} (ye^{y} + Ay + Bye^{y}) dy$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए, $\int ye^{y} dy = (y-1)e^{y}$. अतः, $A = [(y-1)e^{y} + \frac{A}{2}y^{2} + B(y-1)e^{y}]_{0}^{1} = (0 + \frac{A}{2} + 0) - (-1 + 0 - B) = \frac{A}{2} + 1 + B$. $A = 1 - e$ रखने पर, $1 - e = \frac{1-e}{2} + 1 + B$, जिससे $B = \frac{1-3e}{2}$ प्राप्त होता है। अंत में, $f(0) = e^{0} + A + B(0)e^{0} = 1 + A = 1 + (1 - e) = 2 - e$. अतः, $e + f(0) = e + 2 - e = 2$.

यदि $f(x)$ संबंध $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} (y + xe^{x}) f(y) dy$ को संतुष्ट करता है, तो $e + f(0)$ का मान . . . . . . है।

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