જો int_{0}^{1} 4 cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx = a t | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx$. $z > 0$ માટે $\cot^{-1}(z) = 	an^{-1}(\frac{1}{z})$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, $I = \int_{0}^{1} \

Vedclass · Accepted Answer

$9$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx$. $z > 0$ માટે $\cot^{-1}(z) = 	an^{-1}(\frac{1}{z})$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, $I = \int_{0}^{1} 	an^{-1}(\frac{1}{1+x(x-1)}) dx$ મળે. $	an^{-1}(x) - 	an^{-1}(y) = 	an^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ નો ઉપયોગ કરતા, $I = \int_{0}^{1} (	an^{-1}(x) - 	an^{-1}(x-1)) dx$ મળે. $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_{0}^{1} (	an^{-1}(1-x) - 	an^{-1}(-x)) dx = \int_{0}^{1} (	an^{-1}(1-x) + 	an^{-1}(x)) dx$. $	an^{-1}(x) + 	an^{-1}(1-x) = 	an^{-1}(\frac{1}{1+x-x^2})$ હોવાથી, આ સંકલન $2 \int_{0}^{1} 	an^{-1}(x) dx$ થાય છે. ખંડશઃ સંકલન કરતા: $2 [x 	an^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2)]_{0}^{1} = 2 [(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2) - 0] = \frac{\pi}{2} - \ln 2$. આપેલ સમીકરણ $4I = a 	an^{-1}(2) - b \ln(5)$ સાથે સરખાવતા, $a=4, b=1$ મળે છે. તેથી, $2a+b = 2(4)+1 = 9$.

જો $\int_{0}^{1} 4 \cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx = a \tan^{-1}(2) - b \log_{e}(5)$, જ્યાં $a, b \in N$, તો $(2a+b)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x}{1+2^x} \,d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_1^3 \left[ \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2-1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^2-1}{x} \right) \right] dx =$

$\int_0^{\pi /4} {\log (1 + \tan \theta )\,d\theta = } $

$\int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+\sqrt{\tan x}} d x=$

$\int_{-\pi / 15}^{\pi / 15} \frac{\cos 5 x}{1+e^{5 x}} d x=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module