यदि omega इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है, तो व् | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_k = (k + 1)(k + \frac{1}{\omega})(k + \frac{1}{\omega^2})$ है, जहाँ $k = 1$ से $n$ तक है।चूँकि $\omega^3 = 1$ और $1 + \ome

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$[\frac{n(n + 1)}{2}]^2 + n$

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(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_k = (k + 1)(k + \frac{1}{\omega})(k + \frac{1}{\omega^2})$ है, जहाँ $k = 1$ से $n$ तक है।चूँकि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$, हमारे पास $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ है।अतः, $T_k = (k + 1)(k + \omega^2)(k + \omega) = (k + 1)(k^2 + k(\omega + \omega^2) + \omega^3)$।$\omega + \omega^2 = -1$ और $\omega^3 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $T_k = (k + 1)(k^2 - k + 1) = k^3 + 1$ प्राप्त होता है।योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 1) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} 1$ है।सूत्र $\sum k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ का उपयोग करने पर, हमें $S_n = [\frac{n(n+1)}{2}]^2 + n$ प्राप्त होता है।

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