જો 0 le x le 1 અને (sin^{-1} x)^3 + (cos^{-1} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $u = \sin^{-1} x$ છે. કારણ કે $0 \le x \le 1$, તેથી $0 \le u \le \frac{\pi}{2}$ છે.ત્યારે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$ થાય.પદાવલિ $f(

Vedclass · Accepted Answer

$a \ge \frac{1}{32}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $u = \sin^{-1} x$ છે. કારણ કે $0 \le x \le 1$, તેથી $0 \le u \le \frac{\pi}{2}$ છે.ત્યારે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$ થાય.પદાવલિ $f(u) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3$ બને છે, જ્યાં $u \in [0, \frac{\pi}{2}]$ છે.$f(u) = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$ છે.વિસ્તાર શોધવા માટે, ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધો: $f'(u) = 3\pi u - \frac{3\pi^2}{4} = 0 \implies u = \frac{\pi}{4}$ છે.$u = 0$ પર, $f(0) = \frac{\pi^3}{8}$ છે.$u = \frac{\pi}{4}$ પર, $f(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^3 + (\frac{\pi}{4})^3 = 2(\frac{\pi^3}{64}) = \frac{\pi^3}{32}$ છે.$u = \frac{\pi}{2}$ પર, $f(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2})^3 + 0 = \frac{\pi^3}{8}$ છે.આમ, ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{\pi^3}{32}$ છે અને મહત્તમ કિંમત $\frac{\pi^3}{8}$ છે.આપેલ છે કે $a\pi^3 = f(u)$, તેથી $\frac{\pi^3}{32} \le a\pi^3 \le \frac{\pi^3}{8}$, જેનાથી $\frac{1}{32} \le a \le \frac{1}{8}$ મળે છે.આનો અર્થ એ છે કે $a \ge \frac{1}{32}$.

જો $0 \le x \le 1$ અને $(\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3 = a\pi^3$ હોય, તો $a$ નો વિસ્તાર શોધો.

Similar Questions

જો $\tan ^{-1}\left(\frac{x-1}{x-2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\frac{\pi}{4}$ હોય,તો $x$ ની કિંમતો શોધો.

$\cot \left[\sum_{n=3}^{32} \cot ^{-1}\left(1+\sum_{k=1}^n 2 k\right)\right]=$

જો $x>0, y>0, z>0, xy+yz+zx < 1$ અને જો $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y + \tan^{-1} z = \pi$ હોય, તો $x+y+z$ ની કિંમત શું થાય?

$\tan ^{-1} 2 + \cot ^{-1}(-3) + \cot ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = $

સમીકરણ $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} 2 x=\frac{\pi}{4}$ નું સમાધાન કરતી $x$ ની વાસ્તવિક કિંમત છે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module