यदि int f(x) dx = g(x) + c है, तो int f^{-1}( | vedclass

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Question

(C) माना $y = f^{-1}(x)$, तब $x = f(y)$ है।दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $dx = f'(y) dy$ प्राप्त होता है।अब, $\int f^{-1}(x) dx = \int

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$x f^{-1}(x) - g(f^{-1}(x)) + c$

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(C) माना $y = f^{-1}(x)$, तब $x = f(y)$ है।दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $dx = f'(y) dy$ प्राप्त होता है।अब, $\int f^{-1}(x) dx = \int y f'(y) dy$ है।खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u dv = uv - \int v du$, जहाँ $u = y$ और $dv = f'(y) dy$ है।तब $du = dy$ और $v = f(y)$ है।अतः, $\int y f'(y) dy = y f(y) - \int f(y) dy$ है।चूँकि $\int f(y) dy = g(y) + c$ है, हमें $y f(y) - g(y) + c$ प्राप्त होता है।$y = f^{-1}(x)$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $f^{-1}(x) \cdot f(f^{-1}(x)) - g(f^{-1}(x)) + c$ प्राप्त होता है।चूँकि $f(f^{-1}(x)) = x$ है, परिणाम $x f^{-1}(x) - g(f^{-1}(x)) + c$ है।

यदि $\int f(x) dx = g(x) + c$ है, तो $\int f^{-1}(x) dx =$ क्या होगा?

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मान लीजिए $f(x) = x$, $f_1(x) = f(\log x)$, $f_2(x) = f_1(\log x)$, $f_3(x) = f_2(\log x) \dots$ इत्यादि। तब $\int \frac{1}{f(x) f_1(x) f_2(x) \dots f_{2026}(x)} dx = \dots$

$\int \frac{d x}{\sin x+\cos x}=$

$\int \frac{1}{x^m \sqrt[m]{x^m+1}} d x=$

$x > 0$ के लिए,यदि $\int (\log x)^5 dx = x[A(\log x)^5 + B(\log x)^4 + C(\log x)^3 + D(\log x)^2 + E(\log x) + F] + \text{constant}$ है,तो $A + B + C + D + E + F$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx =$

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