यदि int e^{x+tan^{-1} x} left(frac{x^2+2}{1+x | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int e^{x+	an^{-1} x} \left(\frac{x^2+2}{1+x^2}ight) dx$ है।ध्यान दें कि $\sec^2(	an^{-1} x) = 1 + x^2$ होता है।माना $g(x) = x + 	a

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$f(x)$, $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int e^{x+	an^{-1} x} \left(\frac{x^2+2}{1+x^2}ight) dx$ है।ध्यान दें कि $\sec^2(	an^{-1} x) = 1 + x^2$ होता है।माना $g(x) = x + 	an^{-1} x$ है। तब $g'(x) = 1 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2+1}{1+x^2} = \frac{x^2+2}{1+x^2}$ है।समाकल $\int e^{g(x)} g'(x) dx = e^{g(x)} + c$ बन जाता है।अतः, $f(x) = x + 	an^{-1} x$ है।$f'(x) = 1 + \frac{1}{1+x^2}$ है।चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $1+x^2 > 0$ है, इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है।अतः, $f(x)$, $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

यदि $\int e^{x+\tan^{-1} x} \left(\frac{x^2+2}{1+x^2}\right) dx = e^{f(x)} + c$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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