यदि $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 3$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$ है, तो अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \quad \vec{a} + \vec{b} \quad \vec{a} \times \vec{b}]$ का मान है:

यदि सदिश $\vec{a}=\lambda \hat{i}+\mu \hat{j}+4 \hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$ और $\vec{c}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ समतलीय हैं और सदिश $\vec{b}$ पर $\vec{a}$ का प्रक्षेप $\sqrt{54}$ इकाई है,तो $\lambda+\mu$ के सभी संभावित मानों का योग क्या होगा?

माना $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=\hat{j}-\hat{k}$ है। यदि $\overrightarrow{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c}=3$ है,तो $\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $3 \hat{i}+3 \hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$,$\hat{i}+\hat{k}$,और $\sqrt{3} \hat{i}+\sqrt{3} \hat{j}+\lambda \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि सदिश $\overrightarrow{u}_1 = \hat{i} + \hat{j} + a\hat{k}$,$\overrightarrow{u}_2 = \hat{i} + b\hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{u}_3 = c\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ समतलीय हैं। यदि सदिश $\overrightarrow{v}_1 = (a+b)\hat{i} + c\hat{j} + c\hat{k}$,$\overrightarrow{v}_2 = a\hat{i} + (b+c)\hat{j} + a\hat{k}$ और $\overrightarrow{v}_3 = b\hat{i} + b\hat{j} + (c+a)\hat{k}$ भी समतलीय हैं,तो $6(a+b+c)$ का मान $..............$ है।

$\hat{i} + a \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a \hat{k}$ और $a \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम होने के लिए $a$ का मान क्या होगा?