यदि int {frac{{2x + 3}}{{(x - 1)({x^2} + 1)}} | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int {\frac{{2x + 3}}{{(x - 1)({x^2} + 1)}}dx}$.आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\frac{{2x + 3}}{{(x - 1)({x^2} + 1)}} =

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$-5/4$

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(D) माना $I = \int {\frac{{2x + 3}}{{(x - 1)({x^2} + 1)}}dx}$.आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\frac{{2x + 3}}{{(x - 1)({x^2} + 1)}} = \frac{A_1}{x - 1} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} + 1}}$.स्थिरांकों को हल करने पर,हमें मिलता है $2x + 3 = A_1({x^2} + 1) + (Bx + C)(x - 1)$.$x = 1$ के लिए,$5 = 2A_1 \implies A_1 = \frac{5}{2}$.$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$0 = A_1 + B \implies B = -\frac{5}{2}$.स्थिर पदों की तुलना करने पर,$3 = A_1 - C \implies C = A_1 - 3 = \frac{5}{2} - 3 = -\frac{1}{2}$.अतः,$I = \int {\frac{{5/2}}{{x - 1}}dx} + \int {\frac{{-5/2x - 1/2}}{{{x^2} + 1}}dx}$.$I = \frac{5}{2}\log |x - 1| - \frac{5}{4}\int {\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}dx} - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx}$.$I = \frac{5}{2}\log |x - 1| - \frac{5}{4}\log (1 + {x^2}) - \frac{1}{2}{	an ^{ - 1}}x + A$.$I = \log \left\{ {{{(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{{({x^2} + 1)}^{ - 5/4}}} ight\} - \frac{1}{2}{	an ^{ - 1}}x + A$.दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,$a = -\frac{5}{4}$.

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यदि $\int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{({x^2} - 1)({x^2} + 4)}}dx = a\log \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + b\tan ^{ - 1}\frac{x}{2} + c}$ है,तो $a$ और $b$ के मान हैं:

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