यदि f:R to R और g:R to R एकैकी (one-to-one),व | vedclass

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Question

(A) माना $\phi(x) = [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)]$। अब,$\phi(-x)$ की गणना करते हैं: $\phi(-x) = [f(-x) + f(x)][g(-x) - g(x)]$ $\phi(-x) = [f(x) + f(-x)

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(A) माना $\phi(x) = [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)]$। अब,$\phi(-x)$ की गणना करते हैं: $\phi(-x) = [f(-x) + f(x)][g(-x) - g(x)]$ $\phi(-x) = [f(x) + f(-x)][-(g(x) - g(-x))]$ $\phi(-x) = -[f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] = -\phi(x)$। चूंकि $\phi(-x) = -\phi(x)$,इसलिए फलन $\phi(x)$ एक विषम फलन (odd function) है। किसी भी विषम फलन $\phi(x)$ के लिए,सममित अंतराल $[-\pi, \pi]$ पर समाकल का मान शून्य होता है: $\int_{-\pi}^{\pi} \phi(x) \, dx = 0$। अतः,$\int_{-\pi}^{\pi} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx = 0$।

यदि $f:R \to R$ और $g:R \to R$ एकैकी (one-to-one),वास्तविक मान वाले फलन हैं,तो समाकल $\int_{-\pi}^{\pi} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx$ का मान क्या है?

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यदि $\int \limits_0^\pi \frac{5^{\cos x}(1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x) dx}{1+5^{\cos x}} = \frac{k \pi}{16}$ है,तो $k$ का मान $...........$ है।

निश्चित समाकलन $\int_{19}^{37} (\{x\}^2 + 3 \sin(2\pi x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $\{x\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है।

$\int_1^3 \frac{\log x^2}{\log \left(16 x^2-8 x^3+x^4\right)} d x=\ldots$

यदि $\int_{-a}^{a} (|x| + |x-2|) dx = 22$,$(a > 2)$ और $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है,तो $\int_{a}^{-a} (x + [x]) dx$ का मान ........... है।

$\int_{-1 / 2}^{1 / 2} \cos ^{-1} x \, dx$ का मान है

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