यदि f(x) = frac{e^x}{1 + e^x},I_1 = int_{f(-a | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$. ध्यान दें कि $f(-a) = \frac{e^{-a}}{1 + e^{-a}} = \frac{1}{e^a + 1}$.अतः,$f(a) + f(-a) = \frac{e^a}{1 +

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$2$

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(D) दिया गया है $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$. ध्यान दें कि $f(-a) = \frac{e^{-a}}{1 + e^{-a}} = \frac{1}{e^a + 1}$.अतः,$f(a) + f(-a) = \frac{e^a}{1 + e^a} + \frac{1}{1 + e^a} = 1$.माना $I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$. गुणधर्म $\int_{A}^{B} h(x) dx = \int_{A}^{B} h(A + B - x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A + B = 1$:$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} (1 - x) g\{(1 - x)(1 - (1 - x))\} dx = \int_{f(-a)}^{f(a)} (1 - x) g\{(1 - x)x\} dx$.$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g\{x(1 - x)\} dx - \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$.$I_1 = I_2 - I_1$.$2I_1 = I_2$.इसलिए,$\frac{I_2}{I_1} = 2$.

यदि $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$,$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$,और $I_2 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g\{x(1 - x)\} dx$ है,तो $\frac{I_2}{I_1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $F(x) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$,जहाँ $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ है,तो $F(e) = $

समाकलन $I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\tan 2x}}$ का मान है:

$\int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x=$

$\int_3^5(x-3)^3(5-x)^5 d x=$

$\int_{0}^{20 \pi}(|\sin x|+|\cos x|)^{2} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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