यदि I(m, n) = int_0^1 t^m (1 + t)^n dt है,तो | vedclass

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Question

(A) हमें दिया गया है $I(m, n) = \int_0^1 t^m (1 + t)^n dt$। खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (1 + t)^n$ और $dv = t^m dt$ लें

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2^n}{m + 1} - \frac{n}{m + 1} I(m + 1, n - 1)$

Vedclass · Answer

(A) हमें दिया गया है $I(m, n) = \int_0^1 t^m (1 + t)^n dt$। खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (1 + t)^n$ और $dv = t^m dt$ लें। तब $du = n(1 + t)^{n-1} dt$ और $v = \frac{t^{m+1}}{m+1}$ प्राप्त होता है। सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर: $I(m, n) = \left[ \frac{t^{m+1}(1 + t)^n}{m+1} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^{m+1}}{m+1} \cdot n(1 + t)^{n-1} dt$। सीमाओं का मान रखने पर: $t=1$ के लिए,$\frac{1^{m+1}(1+1)^n}{m+1} = \frac{2^n}{m+1}$ प्राप्त होता है। $t=0$ के लिए,पद $0$ हो जाता है। अतः,$I(m, n) = \frac{2^n}{m+1} - \frac{n}{m+1} \int_0^1 t^{m+1}(1 + t)^{n-1} dt$। चूंकि $I(m+1, n-1) = \int_0^1 t^{m+1}(1 + t)^{n-1} dt$,इसलिए: $I(m, n) = \frac{2^n}{m+1} - \frac{n}{m+1} I(m+1, n-1)$।

यदि $I(m, n) = \int_0^1 t^m (1 + t)^n dt$ है,तो $I(m, n)$ के लिए $I(m + 1, n - 1)$ के पदों में व्यंजक क्या होगा?

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