यदि {I_n} = int_0^infty {{e^{ - x}}{x^{n - 1} | vedclass

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Question

(C) माना कि दिया गया समाकलन $J = \int_0^\infty {{e^{ - \lambda x}}{x^{n - 1}}dx}$ है।$\lambda x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = \frac{t}{\lambda}

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$\frac{{{I_n}}}{{{\lambda ^n}}}$

Vedclass · Answer

(C) माना कि दिया गया समाकलन $J = \int_0^\infty {{e^{ - \lambda x}}{x^{n - 1}}dx}$ है।$\lambda x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = \frac{t}{\lambda}$ और $dx = \frac{dt}{\lambda}$ प्राप्त होता है।जब $x 	o 0$ तब $t 	o 0$,और जब $x 	o \infty$ तब $t 	o \infty$ होता है।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$J = \int_0^\infty {{e^{ - t}}{(\frac{t}{\lambda})^{n - 1}} \frac{dt}{\lambda}}$$J = \int_0^\infty {{e^{ - t}} \frac{{{t^{n - 1}}}}{{{\lambda ^{n - 1}}}} \frac{dt}{\lambda}}$$J = \frac{1}{{{\lambda ^n}}} \int_0^\infty {{e^{ - t}}{t^{n - 1}}dt}$चूँकि ${I_n} = \int_0^\infty {{e^{ - x}}{x^{n - 1}}dx}$,इसलिए $\int_0^\infty {{e^{ - t}}{t^{n - 1}}dt}$ भी ${I_n}$ के बराबर है।अतः,$J = \frac{{{I_n}}}{{{\lambda ^n}}}$.

यदि ${I_n} = \int_0^\infty {{e^{ - x}}{x^{n - 1}}dx,} $ है,तो $\int_0^\infty {{e^{ - \lambda x}}{x^{n - 1}}dx = } $

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