જો $\int_0^1 {{e^{{x^2}}}(x - \alpha )\,dx = 0,} $ હોય,તો

ધારો કે $g_i: \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}, i=1, 2$,અને $f: \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ એવા વિધેયો છે કે જેથી $g_1(x)=1, g_2(x)=|4x-\pi|$ અને $f(x)=\sin^2 x$,દરેક $x \in \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right]$ માટે.
$S_i = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} f(x) \cdot g_i(x) dx, i=1, 2$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
$(1)$ $\frac{16S_1}{\pi}$ નું મૂલ્ય.
$(2)$ $\frac{48S_2}{\pi^2}$ નું મૂલ્ય.

$\int_{0}^{\pi} [\cot x] dx = $

$\int_0^{2 \pi} \sin ^6 x \cos ^5 x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $n$ કોઈ પૂર્ણાંક હોય,તો $\int_0^\pi {e^{\cos^2 x} \cos^3((2n + 1)x)} \, dx = $

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1}{1+ e^{\sin x}} dx$ ની કિંમત શોધો.