यदि $n$ धनात्मक पूर्णांकों को यादृच्छिक रूप से लिया जाता है और उनका गुणा किया जाता है,तो गुणनफल का अंतिम अंक $2, 4, 6$ या $8$ होने की प्रायिकता क्या है?

एक संख्या $n$ को समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि $\frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i}$ एक पूर्णांक है?

तीन छह-फलकीय निष्पक्ष पासे एक साथ फेंके जाते हैं। पासे पर आने वाली संख्याओं का योग $k$ $(3 \le k \le 8)$ होने की प्रायिकता क्या है?

एक निष्पक्ष पासे को अनिश्चित काल तक उछाला जाता है। खिलाड़ी $A$ जीतता है यदि दो लगातार उछालों में $3$ या $5$ आता है, और खिलाड़ी $B$ जीतता है यदि दो लगातार उछालों में $1$ या $2$ या $4$ या $6$ आता है। खिलाड़ी $A$ के जीतने की प्रायिकता है:

$3$ थैले $A, B$ और $C$ हैं। थैले $A$ में $1$ लाल और $2$ हरे गेंद हैं,थैले $B$ में $2$ लाल और $1$ हरा गेंद है और थैले $C$ में केवल $1$ हरा गेंद है। थैले $A$ से एक गेंद निकालकर थैले $B$ में डाली जाती है,फिर थैले $B$ से एक गेंद निकालकर थैले $C$ में डाली जाती है,और अंत में थैले $C$ से एक गेंद निकालकर थैले $A$ में डाली जाती है। जब यह प्रक्रिया पूरी हो जाती है,तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि थैले $A$ में $2$ लाल और $1$ हरा गेंद हो?

$A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं जहाँ $P(A)=\frac{1}{4}$ और $P(A \cup B)=2 P(B)-P(A)$ है,तो $P(B)$ का मान ज्ञात कीजिए।