જો $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ એ $d$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી $A.P.$ હોય,તો $\tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{d}{1 + a_1 a_2} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{d}{1 + a_2 a_3} \right) + \dots + \tan^{-1} \left( \frac{d}{1 + a_{n-1} a_n} \right) \right] = $

$\tan^{-1}\left(\frac{5i}{3}\right)$ નો કાલ્પનિક ભાગ (imaginary part) શોધો.

ધારો કે $E_1 = \{x \in R : x \neq 1 \text{ અને } \frac{x}{x-1} > 0\}$ અને $E_2 = \{x \in E_1 : \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1})) \text{ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે}\}$. (અહીં,પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\sin^{-1} x$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં કિંમતો ધારણ કરે છે). ધારો કે $f : E_1 \rightarrow R$ એ $f(x) = \log_e(\frac{x}{x-1})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે અને $g : E_2 \rightarrow R$ એ $g(x) = \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1}))$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. $LIST I$ ની વસ્તુઓને $LIST II$ સાથે જોડો.

જો $\alpha$ અને $\beta$ (જ્યાં $\alpha > \beta$) એ સમીકરણ $3\cos^{-1}\left(x^2 - 5x - \frac{11}{2}\right) = \pi$ ના બે શૂન્યો હોય,તો $(\alpha^2 + \beta^3)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:[0, 4\pi] \rightarrow [0, \pi]$ એ $f(x) = \cos^{-1}(\cos x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સમીકરણ $f(x) = \frac{10-x}{10}$ નું સમાધાન કરતા $x \in [0, 4\pi]$ બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $\tan^{-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{2x+1}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{23}{36}\right)$ હોય,તો $x =$