यदि intlimits_0^{f(x)} {{t^2},dt} = x cos(pi | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\int\limits_0^{f(x)} {{t^2}\,dt} = x \cos(\pi x)$.कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम समाकलन का मूल्यांकन करते हैं:$\left[ \

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$-\frac{1}{9}$ के बराबर है

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(A) दिया गया है कि $\int\limits_0^{f(x)} {{t^2}\,dt} = x \cos(\pi x)$.कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम समाकलन का मूल्यांकन करते हैं:$\left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^{f(x)} = x \cos(\pi x)$$\Rightarrow \frac{[f(x)]^3}{3} = x \cos(\pi x)$$\Rightarrow [f(x)]^3 = 3x \cos(\pi x) \quad \dots(1)$$x = 9$ पर,$[f(9)]^3 = 3(9) \cos(9\pi) = 27(-1) = -27$.अतः,$f(9) = -3$.श्रृंखला नियम (chain rule) और गुणन नियम (product rule) का उपयोग करके समीकरण $(1)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$3[f(x)]^2 \cdot f'(x) = \frac{d}{dx} [3x \cos(\pi x)]$$3[f(x)]^2 \cdot f'(x) = 3 \cos(\pi x) - 3x \pi \sin(\pi x)$$[f(x)]^2 \cdot f'(x) = \cos(\pi x) - x \pi \sin(\pi x)$$x = 9$ रखने पर:$[f(9)]^2 \cdot f'(9) = \cos(9\pi) - 9\pi \sin(9\pi)$$(-3)^2 \cdot f'(9) = -1 - 9\pi(0)$$9 \cdot f'(9) = -1$$f'(9) = -\frac{1}{9}$.

यदि $\int\limits_0^{f(x)} {{t^2}\,dt} = x \cos(\pi x)$ है,तो $f'(9)$ ज्ञात कीजिए।

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