int_0^1 tan^{-1} x , dx = | vedclass

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Question

(B) समाकलन $I = \int_0^1 	an^{-1} x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.माना $u = \

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$\frac{\pi}{4} - \log \sqrt{2}$

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(B) समाकलन $I = \int_0^1 	an^{-1} x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.माना $u = 	an^{-1} x$ और $dv = dx$.तब $du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$ और $v = x$.सूत्र लागू करने पर:$I = [x 	an^{-1} x]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} \, dx$.पहले भाग का मूल्यांकन करने पर: $(1 \cdot 	an^{-1} 1) - (0 \cdot 	an^{-1} 0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.दूसरे भाग के लिए,माना $t = 1+x^2$,तो $dt = 2x \, dx$ या $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.जब $x=0, t=1$; जब $x=1, t=2$.$\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} [\log |t|]_1^2 = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2 = \log 2^{1/2} = \log \sqrt{2}$.अतः,$I = \frac{\pi}{4} - \log \sqrt{2}$.

$\int_0^1 \tan^{-1} x \, dx =$

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$\int_0^{\pi /4} {\frac{{\sec x}}{{1 + 2{{\sin }^2}x}}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = \sqrt{\sec x + \sqrt{\sec x + \sqrt{\sec x + \dots \infty}}} \,,$ है,तो $\int_{0}^{\pi/3} (2y - 1) \frac{dy}{dx} \, dx$ का मान $(\sec x > 0)$ के लिए ज्ञात कीजिए -

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