समाकलन int limits_1^{sqrt{2}+1} left( frac{x^ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \limits_1^{\sqrt{2}+1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \, dx$. अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $x + \frac{1

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$\frac{\pi}{12 \sqrt{2}}$

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(B) माना $I = \int \limits_1^{\sqrt{2}+1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \, dx$. अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $x + \frac{1}{x} = t$ लेने पर,$(1 - \frac{1}{x^2}) \, dx = dt$ प्राप्त होता है। यहाँ $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$ है। जब $x=1$ है,तो $t=2$ और जब $x=\sqrt{2}+1$ है,तो $t = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int \limits_2^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 2}} = \int \limits_2^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - (\sqrt{2})^2}}$. सूत्र $\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2-a^2}} = \frac{1}{a} \sec^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर: $I = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sec^{-1}(\frac{t}{\sqrt{2}}) \right]_2^{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} [\sec^{-1}(2) - \sec^{-1}(\sqrt{2})] = \frac{1}{\sqrt{2}} [\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}] = \frac{\pi}{12\sqrt{2}}$.

समाकलन $\int \limits_1^{\sqrt{2}+1} \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right) \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \, dx$ का मान है

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