माना f(x) = int frac{sqrt{x}}{(1+x)^2} dx (x | vedclass

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Question

(D) हमें $f(3) - f(1) = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ का मान ज्ञात करना है। माना $\sqrt{x} = t$,तब $x = t^2$ और $dx = 2t dt$ होगा। जब $x=1

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$\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Vedclass · Answer

(D) हमें $f(3) - f(1) = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ का मान ज्ञात करना है। माना $\sqrt{x} = t$,तब $x = t^2$ और $dx = 2t dt$ होगा। जब $x=1$,तब $t=1$ और जब $x=3$,तब $t=\sqrt{3}$। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $f(3) - f(1) = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t \cdot 2t}{(1+t^2)^2} dt = 2 \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = t$ और $dv = \frac{t}{(1+t^2)^2} dt$ लेने पर,$du = dt$ और $v = -\frac{1}{2(1+t^2)}$ प्राप्त होता है। $2 \int \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt = 2 \left[ -\frac{t}{2(1+t^2)} + \int \frac{1}{2(1+t^2)} dt ight] = -\frac{t}{1+t^2} + 	an^{-1}(t)$. $1$ से $\sqrt{3}$ तक सीमाएं लागू करने पर: $f(3) - f(1) = \left[ -\frac{\sqrt{3}}{1+3} + 	an^{-1}(\sqrt{3}) ight] - \left[ -\frac{1}{1+1} + 	an^{-1}(1) ight]$. $= \left( -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{3} ight) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{12}$.

माना $f(x) = \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ $(x \geq 0)$ है। तो $f(3) - f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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