मान लीजिए [t] वह महत्तम पूर्णांक है जो t से छ | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $I = \int_{-1/2}^{1} ([2x] + |x|) \, dx$. हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-1/2}^{1} [2x] \, dx + \int_{-1/2}^{1}

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$3$

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(B) मान लीजिए $I = \int_{-1/2}^{1} ([2x] + |x|) \, dx$. हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-1/2}^{1} [2x] \, dx + \int_{-1/2}^{1} |x| \, dx$. पहले भाग के लिए,$\int_{-1/2}^{1} [2x] \, dx$: अंतराल $[-1/2, 0)$ में,$2x \in [-1, 0)$,इसलिए $[2x] = -1$. अंतराल $[0, 1/2)$ में,$2x \in [0, 1)$,इसलिए $[2x] = 0$. अंतराल $[1/2, 1)$ में,$2x \in [1, 2)$,इसलिए $[2x] = 1$. अतः,$\int_{-1/2}^{1} [2x] \, dx = \int_{-1/2}^{0} (-1) \, dx + \int_{0}^{1/2} (0) \, dx + \int_{1/2}^{1} (1) \, dx = -[x]_{-1/2}^{0} + 0 + [x]_{1/2}^{1} = -(0 - (-1/2)) + (1 - 1/2) = -1/2 + 1/2 = 0$. दूसरे भाग के लिए,$\int_{-1/2}^{1} |x| \, dx$: चूंकि $x $\int_{-1/2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1/2}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = (0 - (-(-1/2)^2/2)) + (1/2 - 0) = -1/8 + 1/2 = 3/8$. इसलिए,$I = 0 + 3/8 = 3/8$. अभीष्ट मान $8 \cdot I = 8 \cdot (3/8) = 3$ है।

मान लीजिए $[t]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $t$ से छोटा या उसके बराबर है। तो $8 \cdot \int \limits_{-\frac{1}{2}}^{1}([2 x]+|x|) \,d x$ का मान .... है।

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