જો I = intlimits_0^{frac{pi}{2}} ln(sin x) dx | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I_1 = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x + \cos x) dx$. ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ ક

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{I}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I_1 = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x + \cos x) dx$. ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I_1 = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - x) + \cos(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - x)) dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin(-x) + \cos(-x)) dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos x - \sin x) dx$. $I_1$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2I_1 = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\ln(\sin x + \cos x) + \ln(\cos x - \sin x)) dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos^2 x - \sin^2 x) dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos 2x) dx$. $\ln(\cos 2x)$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$2I_1 = 2 \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos 2x) dx$. ધારો કે $2x = t$,તેથી $2dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{4}, t=\frac{\pi}{2}$. $I_1 = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos t) \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) dt = \frac{I}{2}$.

જો $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx$ હોય,તો $\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x + \cos x) dx =$

Similar Questions

$\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 - x + 1)^{\frac{1}{3}} dx$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\int_{0}^{\pi} e^{\sin^2 x} \cos^3 x \, dx$ ની કિંમત કેટલી થાય?

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\sqrt{\cot x}}$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{1+\sin x}$ સંકલનનું મૂલ્ય શોધો.

જો $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module