यदि I = intlimits_0^{frac{pi}{2}} ln(sin x) d | vedclass

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Question

(A) माना $I_1 = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x + \cos x) dx$ है। गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग क

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$\frac{I}{2}$

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(A) माना $I_1 = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x + \cos x) dx$ है। गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I_1 = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - x) + \cos(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - x)) dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin(-x) + \cos(-x)) dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos x - \sin x) dx$ प्राप्त होता है। $I_1$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I_1 = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\ln(\sin x + \cos x) + \ln(\cos x - \sin x)) dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos^2 x - \sin^2 x) dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos 2x) dx$। चूँकि $\ln(\cos 2x)$ एक सम फलन है,इसलिए $2I_1 = 2 \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos 2x) dx$। माना $2x = t$,तब $2dx = dt$। जब $x=0, t=0$; जब $x=\frac{\pi}{4}, t=\frac{\pi}{2}$। $I_1 = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos t) \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) dt = \frac{I}{2}$।

यदि $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx$ है,तो $\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x + \cos x) dx =$

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$x \in (0, \pi/2)$ के लिए $\int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_{-1}^4 f(x) dx = 4$ और $\int_2^4 (3 - f(x)) dx = 7$ है,तो $\int_{-1}^2 f(x) dx = $

$\int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) dx=$

$\int_{0}^{1} x(1 - x)^{5} dx = . . . . . .$

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