int_{log frac{1}{2}}^{log 2} sin left(frac{e^ | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) dx$.ध्यान दें कि $\log \frac{1}{2} = \log 1 - \log 2 = -\log

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$0$

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(D) माना $I = \int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) dx$.ध्यान दें कि $\log \frac{1}{2} = \log 1 - \log 2 = -\log 2$.अतः,$I = \int_{-\log 2}^{\log 2} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = \sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right)$.जाँचें कि क्या $f(x)$ एक विषम फलन है: $f(-x) = \sin \left(\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}\right) = \sin \left(\frac{\frac{1}{e^{x}}-1}{\frac{1}{e^{x}}+1}\right) = \sin \left(\frac{1-e^{x}}{1+e^{x}}\right) = \sin \left(-\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) = -\sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) = -f(x)$.चूँकि $f(x)$ एक विषम फलन है और अंतराल $[-\log 2, \log 2]$ सममित है,इसलिए समाकलन का मान $0$ होगा।

$\int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) dx=$

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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$

समाकलन $\int_{-1/2}^{1/2} \left( [x] + \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है):

$\int_{-\pi / 8}^{\pi / 8} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x=$

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} \,dx = $

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