यदि vec{a}, vec{b}, vec{c} असमतलीय सदिश हैं औ | vedclass

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Question

(D) दिया गया अदिश त्रिक गुणनफल: $(\vec{a} - \lambda \vec{b}) \cdot ((\vec{b} - 2\vec{c}) 	imes (\vec{c} + 2\vec{a})) = 0$.सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट का

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$-1/4$

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(D) दिया गया अदिश त्रिक गुणनफल: $(\vec{a} - \lambda \vec{b}) \cdot ((\vec{b} - 2\vec{c}) 	imes (\vec{c} + 2\vec{a})) = 0$.सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करें: $(\vec{b} - 2\vec{c}) 	imes (\vec{c} + 2\vec{a}) = \vec{b} 	imes \vec{c} + 2(\vec{b} 	imes \vec{a}) - 2(\vec{c} 	imes \vec{c}) - 4(\vec{c} 	imes \vec{a})$.चूंकि $\vec{c} 	imes \vec{c} = 0$,यह सरल होकर $\vec{b} 	imes \vec{c} + 2(\vec{b} 	imes \vec{a}) - 4(\vec{c} 	imes \vec{a})$ हो जाता है।अब,$(\vec{a} - \lambda \vec{b})$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर:$(\vec{a} - \lambda \vec{b}) \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c} + 2(\vec{b} 	imes \vec{a}) - 4(\vec{c} 	imes \vec{a})) = 0$.डॉट प्रोडक्ट का वितरण करने पर:$\vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) + 2\vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{a}) - 4\vec{a} \cdot (\vec{c} 	imes \vec{a}) - \lambda \vec{b} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) - 2\lambda \vec{b} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{a}) + 4\lambda \vec{b} \cdot (\vec{c} 	imes \vec{a}) = 0$.अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यदि कोई भी दो सदिश समान हों तो गुणनफल शून्य होता है,इसलिए $\vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{a}) = 0$,$\vec{a} \cdot (\vec{c} 	imes \vec{a}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) = 0$,और $\vec{b} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{a}) = 0$.इससे शेष रहता है: $\vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) + 4\lambda \vec{b} \cdot (\vec{c} 	imes \vec{a}) = 0$.चूंकि $\vec{b} \cdot (\vec{c} 	imes \vec{a}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c})$,हमें प्राप्त होता है: $(1 + 4\lambda) [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] 
eq 0$,इसलिए $1 + 4\lambda = 0$,जिसका अर्थ है $\lambda = -1/4$।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं और $(\vec{a} - \lambda \vec{b}) \cdot (\vec{b} - 2\vec{c}) \times (\vec{c} + 2\vec{a}) = 0$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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