यदि left| {begin{array}{*{20}{c}} {a - b}&{b | vedclass

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Question

(A) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta = 0$ है। हम तीसरी पंक्ति में सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके इसे दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:$\Delta = \left|

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$a, b$ और $c$ समान होने चाहिए

Vedclass · Answer

(A) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta = 0$ है। हम तीसरी पंक्ति में सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके इसे दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:$\Delta = \left|\begin{array}{lll}{a-b} & {b-c} & {c-a} \ {b-c} & {c-a} & {a-b} \ {c-a} & {a-b} & {b-c}\end{array}ight| + \left|\begin{array}{ccc}{0} & {b-c} & {c-a} \ {0} & {c-a} & {a-b} \ {1} & {a-b} & {b-c}\end{array}ight| = 0$पहला सारणिक $0$ है क्योंकि इसके स्तंभों का योग $0$ है।दूसरे सारणिक के लिए,पहले स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:$1 \cdot ((b-c)(a-b) - (c-a)(c-a)) = 0$$(b-c)(a-b) - (c-a)^2 = 0$$ab - b^2 - ac + bc - (c^2 + a^2 - 2ac) = 0$$ab - b^2 - ac + bc - c^2 - a^2 + 2ac = 0$$ab + bc + ac - a^2 - b^2 - c^2 = 0$$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$$2$ से गुणा करने पर:$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$चूंकि $a, b, c \in R$,यह दर्शाता है कि $a-b=0, b-c=0, c-a=0$,जिसका अर्थ है कि $a=b=c$.

यदि $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a - b}&{b - c}&{c - a} \\ {b - c}&{c - a}&{a - b} \\ {c - a + 1}&{a - b}&{b - c} \end{array}} \right| = 0$,जहाँ $a, b, c \in R - \{0\}$,तो:

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यदि $\begin{vmatrix} x^k & x^{k+2} & x^{k+3} \\ y^k & y^{k+2} & y^{k+3} \\ z^k & z^{k+2} & z^{k+3} \end{vmatrix} = (x-y)(y-z)(z-x)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{x + 2}&{x + 4}\\{x + 3}&{x + 5}&{x + 8}\\{x + 7}&{x + 10}&{x + 14}\end{array}} \right| = $

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7\end{array}\right|$ के लिए गुणधर्म $2$ का सत्यापन कीजिए।

यदि $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$ और $x \neq y \neq z$ है, तो $1+x y z$ का मान ज्ञात कीजिए।

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