यदि एक वृत्त C_1: x^2+y^2=16 दूसरे वृत्त C_2 | vedclass

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Question

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2=16$ की त्रिज्या $r_1=4$ और केंद्र $O_1(0,0)$ है।उभयनिष्ठ जीवा की अधिकतम लंबाई छोटे वृत्त का व्यास होती है,जो $2r_1 = 8$

Vedclass · Accepted Answer

$\left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$

Vedclass · Answer

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2=16$ की त्रिज्या $r_1=4$ और केंद्र $O_1(0,0)$ है।उभयनिष्ठ जीवा की अधिकतम लंबाई छोटे वृत्त का व्यास होती है,जो $2r_1 = 8$ इकाई है। यह जीवा $C_1$ के केंद्र $O_1(0,0)$ से गुजरनी चाहिए।$(0,0)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{3}{4}$ ढाल वाली जीवा का समीकरण $y = \frac{3}{4}x$ या $3x - 4y = 0$ है।माना वृत्त $C_2$ का केंद्र $O_2(h, k)$ है। चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $C_1$ का व्यास है,केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $O_1O_2$ उभयनिष्ठ जीवा पर लंब होती है।उभयनिष्ठ जीवा का ढाल $\frac{3}{4}$ है,इसलिए रेखा $O_1O_2$ का ढाल $-\frac{4}{3}$ है।अतः,$O_2$ के निर्देशांक $(3a, -4a)$ के रूप में लिखे जा सकते हैं।$O_1(0,0)$ से जीवा की दूरी $0$ है। $O_2(3a, -4a)$ से जीवा $3x - 4y = 0$ की दूरी $d = \frac{|3(3a) - 4(-4a)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|9a + 16a|}{5} = 5|a|$ है।$C_2$ की त्रिज्या $(R_2=5)$,दूरी $d$,और जीवा की आधी लंबाई $(4)$ से बने समकोण त्रिभुज में,$R_2^2 = d^2 + 4^2$,इसलिए $25 = d^2 + 16$,जिससे $d^2 = 9$ प्राप्त होता है,यानी $d = 3$।अतः,$5|a| = 3 \Rightarrow |a| = \frac{3}{5}$।यदि $a = \frac{3}{5}$,तो $O_2 = \left(\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right)$।यदि $a = -\frac{3}{5}$,तो $O_2 = \left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$।विकल्पों की तुलना करने पर,$\left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$ विकल्प $A$ है।

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