यदि एक वक्र y=f(x), जो बिंदु (1,2) से होकर गु | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2 x^{2} dy = (2 xy + y^{2}) dx$$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^{2}}{2x^{2}}$यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$

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$\frac{1}{1+\log _{e} 2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2 x^{2} dy = (2 xy + y^{2}) dx$$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^{2}}{2x^{2}}$यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर:$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx) + (vx)^{2}}{2x^{2}} = \frac{2x^{2}v + x^{2}v^{2}}{2x^{2}} = v + \frac{v^{2}}{2}$$x\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2}}{2}$चरों को अलग करने पर:$\frac{2}{v^{2}} dv = \frac{1}{x} dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int 2v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx$$-2v^{-1} = \ln|x| + C$$-\frac{2}{v} = \ln|x| + C$चूंकि $v = \frac{y}{x}$,हमारे पास $-\frac{2x}{y} = \ln|x| + C$ है।वक्र बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $x=1, y=2$ रखने पर:$-\frac{2(1)}{2} = \ln(1) + C \Rightarrow -1 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.अतः,$-\frac{2x}{y} = \ln|x| - 1$,जिसका अर्थ है $\frac{2x}{y} = 1 - \ln x$.$y = \frac{2x}{1 - \ln x} \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{1 - \ln x}$.अब,$f\left(\frac{1}{2}\right)$ की गणना करने पर:$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2(\frac{1}{2})}{1 - \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 - (\ln 1 - \ln 2)} = \frac{1}{1 - (0 - \ln 2)} = \frac{1}{1 + \ln 2}$.

यदि एक वक्र $y=f(x),$ जो बिंदु $(1,2)$ से होकर गुजरता है,अवकल समीकरण $2 x^{2} dy=\left(2 xy+y^{2}\right) dx$ का हल है,तो $f\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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