यदि एक फलन f,R पर अवकलनीय है और सभी x in R के | vedclass

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Question

(B) मध्यमान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी अंतराल $[a, b]$ के लिए,एक $c \in (a, b)$ मौजूद होता है ताकि $f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(

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$[0, 2]$

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(B) मध्यमान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी अंतराल $[a, b]$ के लिए,एक $c \in (a, b)$ मौजूद होता है ताकि $f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।अंतराल $[2, 4]$ के लिए इसे लागू करने पर,हमें $f^{\prime}(c_1) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{f(4) + 6}{2}$ प्राप्त होता है।चूंकि $f^{\prime}(x) \leq 4$,इसलिए $\frac{f(4) + 6}{2} \leq 4$,जिसका अर्थ है $f(4) + 6 \leq 8$,यानी $f(4) \leq 2$।अंतराल $[4, 6]$ के लिए मध्यमान प्रमेय लागू करने पर,$f^{\prime}(c_2) = \frac{f(6) - f(4)}{6 - 4} = \frac{8 - f(4)}{2}$ प्राप्त होता है।चूंकि $f^{\prime}(x) \leq 4$,इसलिए $\frac{8 - f(4)}{2} \leq 4$,जिसका अर्थ है $8 - f(4) \leq 8$,यानी $f(4) \geq 0$।अतः,$0 \leq f(4) \leq 2$,जिसका अर्थ है $f(4) \in [0, 2]$।

यदि एक फलन $f$,$R$ पर अवकलनीय है और सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 4$ है; और यदि $f(2)=-6$ और $f(6)=8$ है,तो $f(4)$ का मान किस अंतराल में होगा?

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मान लीजिए कि $f(x)$, $[1, 6]$ पर अवकलनीय है और $f(1) = -2$ है। यदि $f(x)$ का $(1, 6)$ में केवल एक मूल (root) है, तो ऐसा $c \in (1, 6)$ मौजूद है कि:

फलन $f(x) = x(x + 3)e^{-(1/2)x}$,$[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है। $c$ का मान है

यदि $f:[-5,5] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है और यदि $f^{\prime}(x)$ कहीं भी शून्य नहीं होता है,तो सिद्ध कीजिए कि $f(-5) \neq f(5).$

यदि $f(x) = \cos x$ अंतराल $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए है,तो माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार वास्तविक संख्या $c$ क्या होगी?

यदि फलन $f(x) = ax^3 - bx^2 - 8x - 4$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले (Rolle's) प्रमेय को संतुष्ट करता है, और $f'(2) = 0$ है, तो $a - b$ का मान है:

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