यदि $f:[-5,5] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है और यदि $f^{\prime}(x)$ कहीं भी शून्य नहीं होता है,तो सिद्ध कीजिए कि $f(-5) \neq f(5).$

(N/A) यह दिया गया है कि $f:[-5,5] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है।
चूंकि प्रत्येक अवकलनीय फलन एक सतत फलन होता है,हम प्राप्त करते हैं:
$a) f$ अंतराल $[-5,5]$ पर सतत है।
$b) f$ अंतराल $(-5,5)$ पर अवकलनीय है।
इसलिए,माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,एक ऐसा $c \in (-5,5)$ मौजूद है जिसके लिए:
$f^{\prime}(c) = \frac{f(5) - f(-5)}{5 - (-5)}$
$\Rightarrow 10 f^{\prime}(c) = f(5) - f(-5)$
यह भी दिया गया है कि $f^{\prime}(x)$ कहीं भी शून्य नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि सभी $x \in [-5,5]$ के लिए $f^{\prime}(x) \neq 0$ है।
इसलिए,$f^{\prime}(c) \neq 0$ है।
$\Rightarrow 10 f^{\prime}(c) \neq 0$
$\Rightarrow f(5) - f(-5) \neq 0$
$\Rightarrow f(5) \neq f(-5)$
अतः,यह सिद्ध हुआ कि $f(-5) \neq f(5).$