मान लीजिए f(x) = log(1 + x^2) और A एक ऐसा स्थ | vedclass

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Question

(A) माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी $x 
eq y$ के लिए,$x$ और $y$ के बीच एक ऐसा $c$ मौजूद है कि $\frac{f(x) - f(y)}{x - y} = f'

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$1$ के बराबर

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(A) माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी $x 
eq y$ के लिए,$x$ और $y$ के बीच एक ऐसा $c$ मौजूद है कि $\frac{f(x) - f(y)}{x - y} = f'(c)$ हो।दिया गया है $f(x) = \log(1 + x^2)$,जिसका अवकलज $f'(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$ है।$f'(x)$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम $g(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$ का विश्लेषण करते हैं।$g'(x) = \frac{2(1 + x^2) - 2x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = 0$ रखने पर,हमें $x = \pm 1$ प्राप्त होता है।$f'(x)$ का अधिकतम मान $f'(1) = \frac{2(1)}{1 + 1^2} = 1$ है और न्यूनतम मान $f'(-1) = \frac{2(-1)}{1 + (-1)^2} = -1$ है।अतः,सभी $c \in \mathbb{R}$ के लिए $|f'(c)| \leq 1$ है।चूँकि $\frac{|f(x) - f(y)|}{|x - y|} = |f'(c)| \leq 1$,इसलिए $A$ का न्यूनतम संभव मान $1$ है।

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