मान लीजिए कि f''(x) सभी वास्तविक x के लिए मौज | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $f(x)$ एक ऐसा फलन है कि $f(2)=2, f(3)=5, f(4)=10$ है। अंतराल $[2, 3]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) के

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$f''(x) > 1$ किसी $x \in (2, 4)$ के लिए

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(B) मान लीजिए $f(x)$ एक ऐसा फलन है कि $f(2)=2, f(3)=5, f(4)=10$ है। अंतराल $[2, 3]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) के अनुसार,एक $c_1 \in (2, 3)$ मौजूद है ताकि $f'(c_1) = \frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{5-2}{1} = 3$ हो। अंतराल $[3, 4]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक $c_2 \in (3, 4)$ मौजूद है ताकि $f'(c_2) = \frac{f(4)-f(3)}{4-3} = \frac{10-5}{1} = 5$ हो। अब,$f'(x)$ पर अंतराल $[c_1, c_2]$ के लिए माध्य मान प्रमेय लागू करने पर,एक $c \in (c_1, c_2) \subset (2, 4)$ मौजूद है ताकि $f''(c) = \frac{f'(c_2)-f'(c_1)}{c_2-c_1} = \frac{5-3}{c_2-c_1} = \frac{2}{c_2-c_1}$ हो। चूंकि $c_1 \in (2, 3)$ और $c_2 \in (3, 4)$ है,इसलिए अंतराल की लंबाई $c_2-c_1$ का मान $2$ से कम है। विशेष रूप से,$0 इसलिए,$f''(c) = \frac{2}{c_2-c_1} > \frac{2}{2} = 1$ है। अतः,किसी $x \in (2, 4)$ के लिए $f''(x) > 1$ सत्य है।

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