ધારો કે f''(x) તમામ વાસ્તવિક x માટે અસ્તિત્વ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $f(x)$ એવું વિધેય છે કે જેથી $f(2)=2, f(3)=5, f(4)=10$ થાય. અંતરાલ $[2, 3]$ પર લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈ $c_1 \in (2, 3)$ અસ્તિ

Vedclass · Accepted Answer

$f''(x) > 1$ કોઈ $x \in (2, 4)$ માટે

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $f(x)$ એવું વિધેય છે કે જેથી $f(2)=2, f(3)=5, f(4)=10$ થાય. અંતરાલ $[2, 3]$ પર લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈ $c_1 \in (2, 3)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c_1) = \frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{5-2}{1} = 3$ થાય. અંતરાલ $[3, 4]$ પર લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈ $c_2 \in (3, 4)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c_2) = \frac{f(4)-f(3)}{4-3} = \frac{10-5}{1} = 5$ થાય. હવે,$f'(x)$ પર અંતરાલ $[c_1, c_2]$ માટે મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પાડતા,કોઈ $c \in (c_1, c_2) \subset (2, 4)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f''(c) = \frac{f'(c_2)-f'(c_1)}{c_2-c_1} = \frac{5-3}{c_2-c_1} = \frac{2}{c_2-c_1}$ થાય. અહીં $c_1 \in (2, 3)$ અને $c_2 \in (3, 4)$ હોવાથી,અંતરાલની લંબાઈ $c_2-c_1$ એ $2$ કરતા ઓછી છે. ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$0 તેથી,$f''(c) = \frac{2}{c_2-c_1} > \frac{2}{2} = 1$ થાય. આમ,કોઈ $x \in (2, 4)$ માટે $f''(x) > 1$ સાચું છે.

Similar Questions

અંતરાલ $[1, 5]$ પર $f(x) = \sqrt{25-x^2}$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

જો $f$ એ $[1,3]$ માં $f(x)=x^3+b x^2+a x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,જેથી $f(1)-f(3)=0$ અને $f^{\prime}(c)=0$,જ્યાં $c=2+\frac{1}{\sqrt{3}}$,તો $(a, b)$ બરાબર શું થાય?

વિધેય $f(x) = x^{2}$ માટે અંતરાલ $[2, 4]$ માં મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ $C$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:[a, b] \rightarrow R$ એ $[a, b]$ માં સતત છે, $(a, b)$ માં વિકલનીય છે અને $f(a)=0=f(b)$ છે. તો

ધારો કે $f(1) = -2$ અને $1 \le x \le 6$ માટે $f'(x) \ge 4.2$ છે. $f(6)$ ની શક્ય કિંમત કયા અંતરાલમાં આવે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module