अंतराल $[0, 1/2]$ में फलन $f(x)=x(x-1)(x-2)$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय का मान $C$ क्या है?

अंतराल $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ पर परिभाषित फलन $f(x)=(x-1)(x-2)$ के लिए,लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करने वाला $c$ का मान है

यदि $f(x) = x^{3}$ और $g(x) = x^{3} - 4x$ अंतराल $[-2, 2]$ में हैं,तो निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(a)$ $f(x)$ और $g(x)$ माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को संतुष्ट करते हैं।
$(b)$ $f(x)$ और $g(x)$ दोनों रोले के प्रमेय (Rolle's Theorem) को संतुष्ट करते हैं।
$(c)$ केवल $g(x)$ रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।
इनमें से कौन सा कथन सही है?

यदि फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a = $ ..............

यदि फलन $f(x) = ax^3 - bx^2 - 8x - 4$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले (Rolle's) प्रमेय को संतुष्ट करता है, और $f'(2) = 0$ है, तो $a - b$ का मान है:

मान लीजिए $f(x) = (x-4)(x-5)(x-6)(x-7)$,तो -