જો $f:[-5,5] \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય હોય અને જો $f^{\prime}(x)$ ક્યાંય પણ શૂન્ય ન થતું હોય,તો સાબિત કરો કે $f(-5) \neq f(5).$

(N/A) આપેલ છે કે $f:[-5,5] \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય છે.
દરેક વિકલનીય વિધેય એ સતત વિધેય હોવાથી,આપણને મળે છે:
$a) f$ એ $[-5,5]$ પર સતત છે.
$b) f$ એ $(-5,5)$ પર વિકલનીય છે.
તેથી,મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,એવું $c \in (-5,5)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
$f^{\prime}(c) = \frac{f(5) - f(-5)}{5 - (-5)}$
$\Rightarrow 10 f^{\prime}(c) = f(5) - f(-5)$
તે પણ આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)$ ક્યાંય પણ શૂન્ય થતું નથી,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x \in [-5,5]$ માટે $f^{\prime}(x) \neq 0$.
તેથી,$f^{\prime}(c) \neq 0$.
$\Rightarrow 10 f^{\prime}(c) \neq 0$
$\Rightarrow f(5) - f(-5) \neq 0$
$\Rightarrow f(5) \neq f(-5)$
આમ,સાબિત થાય છે કે $f(-5) \neq f(5).$